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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y $x$. Compruebe que $A^{\prime}(x)=f(x)$.
c)
c)
Respuesta
Este lo vamos a pensar de una manera muy parecida al anterior. Mirando los dos puntos por los que pasa la función lineal, que según el gráfico parecen ser $(0,2)$ y $(4,4)$, nos damos cuenta que la función $f$ en cuestión es $f(x) = \frac{1}{2}x + 2$
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Ahora nos hacemos un esquema para ver cómo escribir la función área:
El área en este caso va a salir de sumar el área del rectángulo verde (de base $x$ y altura $2$) y el área del triángulo naranja, de base $x$ y altura $f(x) - 2$. Planteamos entonces la suma de estas dos áreas:
$A(x) = 2x + \frac{x [f(x) - 2]}{2}$
Reemplazamos por la expresión de $f(x)$
$A(x) = 2x + \frac{x [\frac{1}{2}x + 2 - 2]}{2}$
$A(x) = 2x + \frac{\frac{1}{2}x^2}{2}$
$A(x) = 2x + \frac{1}{4}x^2$
Esta es la función área que depende de $x$. Chequeamos ahora que, si derivamos la función área, efectivamente recuperamos $f(x)$
$A'(x) = \frac{1}{2}x + 2 = f(x)$