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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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1. Halle, en cada caso, la función área bajo la curva entre 0 y xx. Compruebe que A′(x)=f(x)A^{\prime}(x)=f(x).
c) 2024-05-17%2009:00:21_4538502.png

Respuesta

Este lo vamos a pensar de una manera muy parecida al anterior. Mirando los dos puntos por los que pasa la función lineal, que según el gráfico parecen ser (0,2)(0,2) y (4,4)(4,4), nos damos cuenta que la función ff en cuestión es f(x)=12x+2f(x) = \frac{1}{2}x + 2

Ahora nos hacemos un esquema para ver cómo escribir la función área:

2024-05-17%2009:27:22_7680891.png

El área en este caso va a salir de sumar el área del rectángulo verde (de base xx y altura 22) y el área del triángulo naranja, de base xx y altura f(x)−2f(x) - 2. Planteamos entonces la suma de estas dos áreas:

A(x)=2x+x[f(x)−2]2A(x) = 2x + \frac{x [f(x) - 2]}{2}

Reemplazamos por la expresión de f(x)f(x)

A(x)=2x+x[12x+2 −2]2A(x) = 2x + \frac{x [\frac{1}{2}x + 2 - 2]}{2}

A(x)=2x+12x22A(x) = 2x + \frac{\frac{1}{2}x^2}{2}

A(x)=2x+14x2A(x) = 2x + \frac{1}{4}x^2

Esta es la función área que depende de xx. Chequeamos ahora que, si derivamos la función área, efectivamente recuperamos f(x)f(x)

A′(x)=12x+2=f(x)A'(x) = \frac{1}{2}x + 2 = f(x)
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